Nociones básicas de probabilidad

Nociones básicas de probabilidad

Experimento aleatorio

Definición:

• Experimento: proceso mediante el cual podemos obtener un resultado

• Aleatorio: interviene el azar.

Características:

• Todos los resultados posibles son conocidos con anterioridad

• No se puede predecir con certeza el resultado

• El experimento puede repetirse todas las veces que se quiera

Un experimento aleatorio es un proceso que se puede repetir indefinidamente en las mismas condiciones, cuyo resultado no se puede predecir

Conceptos relacionados:

• Espacio muestral: resultados posibles de un experimento aleatorio

• Suceso: resultado de un experimento aleatorio, o subconjunto del espacio muestral

Tipos:

• Simple o elemental: consta de un solo resultado

• Compuesto: consta de dos o más resultados

• Seguro: todo el espacio muestral, porque siempre ocurre

• Imposible: suceso que no puede ocurrir nunca

Cálculos:

• Unión: A U B

• Intersección A ∩ B

• Complementario: |A

Definición de probabilidad

Clásica: la probabilidad de un suceso es igual al cociente entre el número de casos favorables de que ocurra ese suceso y el número de casos posibles en el supuesto de que todos los casos tengan la misma probabilidad de ocurrir.

Número de casos favorables

• Probabilidad de suceso = Número de casos posibles

Ej: P (A) = 1/6

Problema: requiere que los sucesos sean equiprobables (no siempre ocurre) y, en muchos casos, puede resultar difícil la clasificación de los sucesos como favorables y posibles.

Estadística: límite al que tienen la frecuencia relativa de aparición de un suceso A cuando el número de ensayos, n, tiende al infinito

Problema: muchas veces no es posible repetir un experimento un gran número de veces y, si lo es, no es práctico

Axiomática: dado un espacio muestral E, llamamos probabilidad de un suceso A, definido en el espacio muestral E y que designamos por P (A), a un número real que asignamos al suceso A, tal que cumple las siguientes propiedades:

• 0 < P(A) < 1

• P(E) = 1

• P(A) =1 – (A)

Teorema de la suma: la probabilidad de que ocurra el suceso A o el suceso B es igual a la probabilidad de que ocurra A más la probabilidad de que ocurran ambos:

P (A U B) = P (A) + P(B) – P (A ∩ B)

Cuando los sucesos A y B son incompatibles:

P (A U B) = P (A) + P(B)

Probabilidad condicionada

Hay situaciones donde la aparición de un suceso A depende de la aparición d otro suceso B. Diremos, en estos casos, que los sucesos A y B son dependientes.

Para dos sucesos, A y B, la probabilidad de A condicionado a B es igual a la probabilidad de la intersección dividido por la probabilidad de la condición de B

P (A ∩ B)

• P (A ‌ B) = P(B)

P (B ∩ A)

• P (B ‌ A) = P(A)

Si los sucesos son independientes:

• P (A ‌ B) = P(A)

• P (B ‌ A) = P(B)

La regla del producto y el teorema de Bayes

Regla o teorema del producto

Si de la probabilidad condicionada

P (A ∩ B)

• P (A ‌ B) = P(B)

despejamos P (A ∩ B), nos queda:

P (A ∩ B) = P(A) · P (A ‌ B)

Cuando los sucesos A y B son independientes:

P (A ∩ B) = P(A) · P (B)

Teorema de Bayes:

P(A) · P (B ‌ A)

• P (A ‌ B) = P(B)