Distribuciones continuas de probabilidad

La distribución normal

La distribución normal, campana de Gauss o, curva normal, también definida por De Moivre.

Características y propiedades:

Si una variable X le aplicamos una transformación lineal Y = bX+a, la nueva variable se distribuirá normalmente pero con media bμ x + a y la desviación típica |b|σx . Si restamos la media y dividimos por la desviación típica obtenemos una nueva variable “z”.

Una distribución normal es simétrica a su media, μ, coincide con su mediana y su moda.

La curva normal tiene dos puntos de inflexión; dos puntos donde la curva pasa de ser cóncava a convexa. Estos puntos están a la distancia de una desviación típica de la media.

Es asintótica en el eje de abscisas, se extiende desde - ∞ hasta + ∞ sin tocar nunca el eje.

Casos de utilización de las tablas:

En el supuesto que la tabla no recoja el valor, podemos utilizar el más próximo.

1. Cálculo de la probabilidad para valores menores o iguales que una determinada puntuación típica: En este caso se mira directamente en la tabla.

2. Cálculo de la probabilidad para valores mayores que una determinada puntuación: En este supuesto se mira en la tabla la probabilidad que esa puntuación deja por debajo y se resta a 1.

3. Cálculo de la probabilidad entre dos puntuaciones determinadas: Aquí se restan las probabilidades que dejan por debajo de sí las dos puntuaciones típicas.

Histograma y distribución normal

Si disponemos de los datos originales de una variable X, y su distribución es normal,utilizaremos las tablas III y IV, pero anteriormente transformaremos las puntuaciones directas en puntuaciones típicas:

Aproximación de la binomial a la normal

Cuando las distribuciones binomiales superan sus valores de 20, se puede aproximar a la binomial normal. Teniendo una variable X, con distribución binomial, su media es μ = np y su desviación típica σ = npq.

Para aproximar la distribución binomial a la normal establecemos un intervalo entre 0,5 a la izquierda y a la derecha:

Sumar y restar el valor 0,5 se llama corrección por continuidad, permitiendo utilizar las puntuaciones discretas como continuas.

La distribución “Chi cuadrado” de Pearson

En la distribución de Chi cuadrado de Pearson una variable X con distribución X21, X22, …, X2n pasa a ser X = X2n. Su media y varianza valdrán μ = n y, σ2 = 2n.

Esta distribución se usa para contrastar si la distribución de una variable se ajusta a una distribución determinada.

Entre sus propiedades señalamos:

1. Nunca adopta valores menores de 0.

2. Es asimétrica positiva pero a medida que aumentan sus grados de libertad se va aproximando a la distribución normal.

3. Para n > 30 la podemos aproximar a una distribución N(n, 2n).

Una distribución “t” es el cociente entre una variable N(0,1) y la raíz cuadrada de X dividida por sus grados de libertad.

Sus características son:

1. Es simétrica, con μ = 0. Su forma es muy parecida a la N(0,1), aunque menos apuntada.

2. Puede tomar cualquier valor (-∞ +∞).

3. A medida que aumentan los grados de libertad, la distribución se aproxima más a una distribución normal.

4. La curva es asintótica al eje de abscisas.

Se emplea en estadística inferencial en contrastes. En la tabla VI se muestran los valores de esta distribución.

La distribución de “F” de Snedecor

Sigue una distribución F con n1 y n2 grados de libertad (Fn1,n2). Siendo “n 1”los grados del numerador y “n2” los del denominador; su media y varianza se definen:

Se caracteriza por:

1. Es asimétrica positiva por lo que nunca toma valores menores que 0.

2. Si X es variable con distribución F con n1 y n2 grados de libertad, la variable Y = 1/X es también una distribución F (propiedad recíproca)